🎯 Через 4 минуты вы сможете решать системы уравнений для равновесия, моделей Курно и взаимосвязанных рынков.

Системы уравнений в задачах

Введение

Системы уравнений — основной инструмент решения олимпиадных задач. Нахождение равновесия, оптимума Курно, модели IS-LM — всё сводится к системам.

Теория

Методы решения

1. Подстановка: выразить одну переменную через другую. 2. Сложение/вычитание: домножить уравнения и сложить для исключения переменной. 3. Матричный метод (правило Крамера): для 2×2 и 3×3 систем.

Экономические системы

Равновесие: Qd = Qs → система из двух уравнений.

Курно (2 фирмы): q₁ = (a-c₁)/(2b) - q₂/2 q₂ = (a-c₂)/(2b) - q₁/2 Решение: подстановка одного в другое.

Два рынка: Qd₁ = f(P₁, P₂), Qs₁ = g(P₁) Qd₂ = h(P₁, P₂), Qs₂ = k(P₂) → 4 уравнения, 4 неизвестных.

Параметрические системы

Часто на олимпиаде параметр (налог t, доход I) входит в систему. Решение содержит параметр → можно анализировать зависимость.

Типовые задачи

Задача 1. Два взаимосвязанных рынка

Qd₁ = 100 - 2P₁ + P₂, Qs₁ = -20 + 3P₁ Qd₂ = 80 + P₁ - 3P₂, Qs₂ = -10 + 2P₂

Равновесие на обоих рынках: 100 - 2P₁ + P₂ = -20 + 3P₁ → 120 = 5P₁ - P₂ ... (i) 80 + P₁ - 3P₂ = -10 + 2P₂ → 90 = -P₁ + 5P₂ ... (ii)

Из (i): P₂ = 5P₁ - 120. Подставляем в (ii): 90 = -P₁ + 5(5P₁-120) = 24P₁ - 600 → P₁ = 690/24 = 28.75. P₂ = 23.75.

Задача 2. Параметрическая

Qd = a - 2P, Qs = -10 + 3P. Налог t на продавца. Найти Q(t).

Qs' = -10 + 3(P-t). Равновесие: a-2P = -10+3P-3t → P = (a+10+3t)/5. Q = a - 2(a+10+3t)/5 = (3a-20-6t)/5. Q убывает линейно по t.

Частые ошибки

1. Арифметические ошибки при подстановке — проверяйте!
2. Забывают проверить решение подстановкой обратно.
3. При параметрических задачах не проверяют область допустимых значений (Q > 0).

Где системы уравнений возникают в экономике

Равновесие на рынке — простейшая система: Qd = Qs плюс сами функции.

Взаимосвязанные рынки. Qd₁ = 50 - P₁ + P₂ означает, что второй товар — субститут: его подорожание поднимает спрос на первый. Такие системы решают подстановкой, и ответ получается в виде зависимости: P₁ выражается через P₂.

Дуополия Курно. Две функции реакции: q₁ = (a - c - q₂)/2 и симметричная. При одинаковых издержках решение симметрично: подставляем q₁ = q₂ = q и получаем q = (a - c)/3 для каждой фирмы.

Общее равновесие. Несколько рынков, столько же условий Qd = Qs. Число уравнений должно совпадать с числом неизвестных цен — иначе система либо недоопределена, либо переопределена, и это само по себе часть ответа.

Что делать с «плохими» системами

Если после преобразований получилось 0 = 0 — решений бесконечно много (уравнения линейно зависимы, как 2x + 3y = 7 и 4x + 6y = 14). Если 0 = 1 — решений нет: прямые параллельны. На олимпиаде такие сюжеты встречаются в задачах на существование равновесия, и правильный ответ там — именно объяснение, а не число.

Проверка

Найденные значения подставляют во все исходные уравнения, а не только в одно. Это занимает полминуты и ловит большинство арифметических ошибок.

Чек-лист

• [ ] Решаю системы 2×2 подстановкой и сложением
• [ ] Умею решать системы с параметром
• [ ] Проверяю ответ подстановкой обратно
• [ ] Могу решить систему взаимосвязанных рынков