🎯 Через 4 минуты вы сможете рассчитывать сложные проценты, приведённую стоимость, NPV и реальную процентную ставку.

Проценты, сложные проценты и финансы

Введение

Финансовая математика — регулярная тема олимпиады. Задачи на проценты, дисконтирование и NPV требуют точных расчётов.

---

Теория

Простые проценты

S = P(1 + rt), где P — начальная сумма, r — ставка, t — время.

Сложные проценты

S = P(1 + r)^t

С начислением m раз в год: S = P(1 + r/m)^(mt)

Правило 72

Время удвоения ≈ 72/r (r в %).

Дисконтирование

PV = FV / (1+r)^t — приведённая стоимость будущего платежа.

NPV (чистая приведённая стоимость)

NPV = -I₀ + Σ CFt/(1+r)^t

Проект выгоден если NPV > 0.

Аннуитет

PV = PMT × (1 - (1+r)^(-n)) / r

Реальная ставка

r_real = (1+i_nom)/(1+π) - 1 ≈ i_nom - π

---

Типовые задачи

Задача 1

Вклад 100 000 под 8% годовых с ежегодной капитализацией. Сколько через 3 года? S = 100000 × 1.08³ = 100000 × 1.2597 = 125 971.

Задача 2

Проект: инвестиция 1000, доход через год 600, через 2 года 600. r = 10%. NPV? NPV = -1000 + 600/1.1 + 600/1.21 = -1000 + 545.45 + 495.87 = 41.32 > 0. Проект выгоден.

Задача 3

Номинальная ставка 12%, инфляция 9%. Реальная ставка? r = 1.12/1.09 - 1 = 0.0275 = 2.75%.

---

Частые ошибки

1. Путают простые и сложные проценты.
2. Забывают дисконтировать каждый денежный поток отдельно.
3. Не учитывают, что NPV считается с учётом начальной инвестиции (со знаком минус).

---

Что нужно уметь считать быстро

Сложный процент. S = P·(1 + r)^n. Три года под 10%: 1.1³ = 1.331. Ошибка новичка — умножить на 1.3 (простой процент) или на 3r.

Приведённая стоимость. PV = S/(1 + r)^n. Отсюда правило: чем выше ставка дисконтирования, тем меньше PV и тем меньше NPV проекта.

Аннуитет. PV = C·(1 - (1 + r)^(-n))/r. Бессрочный аннуитет проще: PV = C/r. 5000 рублей в год при ставке 8% стоят 62 500 рублей сегодня.

Правило 72. Годы до удвоения ≈ 72/ставка. При 8% — девять лет. Для темпов роста ВВП используют похожее правило 70.

Эффективная ставка. 5% дважды в год дают (1.05)² - 1 = 10.25%, а не 10%. Чем чаще начисление, тем выше эффективная ставка; предел — непрерывное начисление S = P·e^(rt).

Реальная ставка: точно и приближённо

Приближение r ≈ i - π годится для оценки, но на заключительном этапе считают точно: (1 + r) = (1 + i)/(1 + π). При i = 15% и π = 12% приближение даёт 3%, точный расчёт — 2.68%. В вариантах ответа обычно стоят оба числа, и «3%» там не просто так.

NPV и IRR

NPV = сумма дисконтированных потоков минус вложения. Проект принимают при NPV > 0. IRR — ставка, при которой NPV = 0: чем она выше рыночной, тем больше запас прочности.

Сравнение вариантов вложения

Типовой вопрос: что выгоднее — 12% годовых раз в год или 1% в месяц? Считают эффективную ставку: (1 + 0.01)¹² - 1 = 12.68%. Чем чаще начисление, тем выше эффективная ставка при той же номинальной.

Второй типовой сюжет — сравнение проектов с разными сроками. Здесь недостаточно сравнить суммы: 150 тысяч через два года и 200 тысяч через пять лет приводят к сегодняшнему дню через дисконтирование, и ответ зависит от ставки. Именно поэтому в задачах ставку всегда указывают явно.

Текущая доходность облигации = годовой купон / рыночная цена. Купон 8% от номинала 1000 при цене 900 даёт 80/900 = 8.89%: облигация торгуется ниже номинала, значит её доходность выше купонной ставки.

Чек-лист

• [ ] Знаю формулы простых и сложных процентов
• [ ] Умею дисконтировать: PV = FV/(1+r)^t
• [ ] Могу рассчитать NPV проекта
• [ ] Знаю правило 72
• [ ] Различаю номинальную и реальную ставку