🎯 Через 4 минуты вы сможете решать задачи на максимум прибыли и условный оптимум методом Лагранжа.

Оптимизация и максимум прибыли

Введение

Оптимизация — ядро экономических задач на олимпиаде. Максимизация прибыли, минимизация издержек, оптимум потребителя — все сводятся к нахождению экстремума функции.

Теория

Безусловная оптимизация

Максимум прибыли: π(Q) = TR(Q) - TC(Q) π'(Q) = MR - MC = 0 → MR = MC π''(Q) < 0 → максимум (MC растёт быстрее MR)

Условная оптимизация (метод Лагранжа)

Задача: max U(X,Y) при ограничении PxX + PyY = M

Лагранжиан: L = U(X,Y) + λ(M - PxX - PyY)

Условия: ∂L/∂X = MUx - λPx = 0 ∂L/∂Y = MUy - λPy = 0 ∂L/∂λ = M - PxX - PyY = 0

Из первых двух: MUx/Px = MUy/Py = λ → MRS = Px/Py

Оптимум фирмы с двумя ресурсами

min TC = wL + rK при Q = f(K,L)

Условие: MPL/w = MPK/r (изокоста касается изокванты)

Типовые задачи

Задача 1. Максимум прибыли монополиста

P = 200 - 4Q, TC = 2Q² + 40Q + 100.

TR = 200Q - 4Q². MR = 200 - 8Q. MC = 4Q + 40. MR = MC: 200 - 8Q = 4Q + 40 → 12Q = 160 → Q = 13.33. P = 200 - 53.33 = 146.67. π = 146.67×13.33 - (2×177.78 + 533.33 + 100) = 1955.6 - 988.9 = 966.7.

Задача 2. Метод Лагранжа

U = XY, M = 100, Px = 5, Py = 10. L = XY + λ(100 - 5X - 10Y) ∂L/∂X = Y - 5λ = 0 → λ = Y/5 ∂L/∂Y = X - 10λ = 0 → λ = X/10 Y/5 = X/10 → X = 2Y 5(2Y) + 10Y = 100 → 20Y = 100 → Y = 5, X = 10.

Частые ошибки

1. Находят MR = MC, но не проверяют вторую производную.
2. В Лагранже путают знак при λ.
3. Забывают подставить результат обратно для проверки.

Разбор: монополист с квадратичными издержками

P = 200 - 4Q, TC = 2Q² + 40Q + 100.

1. TR = 200Q - 4Q² → MR = 200 - 8Q.
2. MC = 4Q + 40.
3. MR = MC: 200 - 8Q = 4Q + 40 → 160 = 12Q → Q ≈ 13.33.
4. P = 200 - 53.33 = 146.67.
5. π = TR - TC = 1955.6 - (355.6 + 533.3 + 100) = 966.7.

Обратите внимание: ответ получился нецелым, и это нормально. Олимпиадные задачи не обязаны иметь круглые ответы — попытка «подогнать» число под красивое обычно и есть ошибка.

Условная оптимизация без Лагранжа

Для функций Кобба-Дугласа U = X^α·Y^β оптимум считается устно: доля дохода на товар равна его степени (после нормировки α + β = 1). При U = X^0.4·Y^0.6 и M = 250 на X уходит 40% дохода — 100 рублей, дальше делим на цену. Лагранжиан здесь нужен только если в работе требуют показать вывод.

Для жёстких комплементов U = min(aX, bY) оптимум ищут не через производные, а из условия aX = bY плюс бюджет: производные там не существуют, и попытка их взять — типичная потеря баллов.

Достаточное условие

MR = MC — условие необходимое, но не достаточное. В точке максимума прибыли MC должен пересекать MR снизу вверх (то есть расти). Если MC убывает — это точка минимума прибыли, и на олимпиаде за пропущенную проверку снимают балл.

Порядок действий в любой задаче на оптимум

1. Записать целевую функцию: прибыль, полезность или издержки.
2. Записать ограничение, если оно есть.
3. Взять производную (или условие MRS = соотношение цен).
4. Решить уравнение и проверить достаточное условие.
5. Проверить экономический смысл: выпуск неотрицателен, прибыль не меньше, чем при

закрытии производства.

Пятый шаг пропускают чаще всего — и именно за него ставят последние баллы.

Чек-лист

• [ ] Умею максимизировать прибыль через MR = MC
• [ ] Знаю метод Лагранжа для условной оптимизации
• [ ] Проверяю достаточные условия (вторая производная)